Säännöllinen Polyhedra: elementtejä symmetria ja alue

Geometria on kaunis, koska toisin kuin algebran, mikä ei aina ole selvää, miksi ja mitä mieltä olet, antaa visuaalinen objekti. Tämä ihmeellinen maailma eri elinten koristavat säännöllisesti polyhedra.

Yleistä tietoa säännöllisesti polyhedra

Mukaan monet, säännöllinen monitahokas, tai kuten niitä kutsutaan Platoninen kiintoaineita, joilla on ainutlaatuisia ominaisuuksia. Näiden esineiden liitetty useita tieteellisiä hypoteeseja. Kun alkaa tutkia geometriset tiedot kehon, huomaa, että lähes eivät tiedä mitään tällainen käsite kuin tavallinen polyhedra. Esittäessään nämä esineet koulu ei ole aina kiinnostavaa, niin monet eivät edes muista mitä heitä kutsuttiin. Muistoksi useimmat ihmiset se on vain kuutio. Mikään kehon geometria ei ole hallussaan sellaista täydellisyyttä säännöllinen monitahokkaiden. Kaikki nimet näiden geometristen elimistä peräisin antiikin Kreikassa. Ne edustavat useita kasvoja: tetraedrin - nelisivuinen, hexahedron - Allen, octahedron - Octagon, Dodekaedri - dodekahedraalisia, ikosaedri - ikosaedrinen. Kaikki nämä geometrisia kehon on tärkeä asema Platonin käsitys maailmankaikkeudesta. Neljä niistä on muodostettu elementeistä tai yhteisöt: tetraedrin - Palon Ikosaedri - vesi kuutio - maan, oktaedrin - ilma. Dodekaedri ilmentymä kaiken. Häntä pidettiin tärkein, symbolina maailmankaikkeuden.

Yleistymistä käsitteen polyhedron

Polyhedron on äärellinen polygonien siten, että:

• kunkin puolin tahansa monikulmio on samanaikaisesti vain yhdellä puolella toisen monikulmion samalla puolella;
• kustakin polygoneja voit kävellä toiseen kuljettamalla sen viereen polygoneja.

Polygoneja muodostavat polyhedronin edustaa sen kasvot ja heidän puolellaan - kylkiluut. Polyhedra kärjet ovat vertices polygoneja. Jos termi monikulmio ymmärtää tasainen suljetun viivat, sitten tulevat yhtä määritelmää polyhedron. Siinä tapauksessa, että kyseinen termi on tarkoitettu osa tasossa, joka rajoittuu katkoviivoilla, on ymmärrettävä, pinta, jonka muodostavat monikulmion kappaletta. Kupera polyhedron kutsutaan kehon makaa toisella puolella kone, vieressä sen kasvoja.

Toinen määritelmä polyhedron ja sen elementtien

Polyhedron kutsutaan pinta koostuu polygoneja, joka rajoittaa geometrinen runko. Ne ovat:

• ei-kupera;
• kupera (oikea ja väärä).

Säännöllinen polyhedron - on kupera polyhedron maksimaalista symmetria. Elements of säännöllisesti polyhedra:

• Tetrahedron: 6 ripojen 4 kasvot 5 kärjet;
• heksaedrin (kuutio) 12, 6, 8;
• Dodekaedri 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• ikosaedri 30, 20, 12.

Eulerin lauseen

Se perustaa suhde reunojen määrän, pisteiden ja kasvot ovat topologisesti vastaa alalla. Lisäämällä solmujen lukumäärä ja pintojen (B + D) on eri säännöllisesti Polyhedra ja vertaamalla niitä useita ripoja, on mahdollista asettaa yksi sääntö: summa kasvojen määrän yhtä suuri kuin solmujen lukumäärä ja reunojen (P) kasvoi 2. On mahdollista johtaa yksinkertainen kaava:

• B + D = P + 2.

Tämä kaava on voimassa kaikille kupera Polyhedra.

perusmääritelmiä

Käsite säännöllisesti polyhedron on mahdotonta kuvailla yhdellä lauseella. Se on arvostettu ja tilavuus. Elin on tunnustettava sellaisenaan, on välttämätöntä, että se täyttää useita määritelmiä. Näin ollen geometrinen runko on säännöllinen monitahokas, kun nämä ehdot täyttyvät:

• se on kupera;
• sama määrä ripoja suppenee kussakin sen kärjet;
• kaikkia puolia hänen - säännöllinen polygoneja, keskenään samanlaisia;
• Kaikki diedrikulmat ovat yhtä suuret.

Ominaisuudet säännöllisesti polyhedra

On 5 erilaista säännöllisesti polyhedra:

1. Kuutio (heksaedrin) - se on tasainen kärkikulma on 90 °. Se on 3-osainen kulma. Määrä kasvot kulmat kärkeen 270 °.
2. Tetraedri - tasainen kärkikulma - 60 °. Se on 3-osainen kulma. Määrä kasvot kulmat kärkeen - 180 °.
3. Oktaedrin - tasainen kärkikulma - 60 °. Se on nelisivuinen kulmassa. Määrä kasvot kulmat kärkeen - 240 °.
4. Dodekaedri - tasainen kärkikulma 108 °. Se on 3-osainen kulma. Määrä kasvot kulmat kärkeen - 324 °.
5. Icosahedron - se on litteä kärkikulma - 60 °. Se on viisi-puolinen kulma. Määrä kasvot kulmat kärkeen 300 °.

Alueella säännöllisesti polyhedra

Pinta-ala geometrisen elimet (S) lasketaan säännöllinen monikulmio alueella kerrottuna puolia (G):

• S = (a 2) x 2G CTG π / s.

Tilavuus säännöllisen polyhedron

Tämä arvo lasketaan kertomalla tilavuus säännöllisesti pyramidi, jonka pohja on säännöllinen monikulmio, pintojen määrää, ja sen korkeus on merkitty säde (r):

• V = 1: 3RS.

Määriä säännöllisesti polyhedra

Kuten kaikki muutkin geometrisen kappaleen, säännöllinen Polyhedra on eri määriä. Alla on kaavoja, joilla he voivat laskea:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaedrin: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• heksaedrin (kuutio): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekaedri: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements of säännöllisesti polyhedra

Hexahedron ja oktaedrin ovat kaksi geometrisiä elimiä. Toisin sanoen ne voivat saada pois toistensa siinä tapauksessa, että painopistettä yksi otetaan huipulle muiden, ja päinvastoin. Myös ovat kaksi ikosaedri ja dodekaedri. Itse vain tetraedri on kaksi. Menetelmän mukaan Eukleides voidaan saada dodekaedri heksaedri rakentamalla "katot" kasvoilla kuution. Kärkien tetraedrin ovat kaikki 4 kärkipisteet kuutio, ei vierekkäisten parien reunaa pitkin. Vuodesta hexahedron (kuutio) voidaan saada, ja muut säännölliset Polyhedra. Huolimatta siitä, että säännöllinen polygoneja on olemassa lukemattomia, säännöllinen polyhedra, on vain 5.

Säteet säännöllisesti polygoneja

Jossa kukin näistä geometrinen elimet ovat yhdistetty samankeskisiä palloja 3:

• kuvattu kulkee pisteiden;
• kaiverrettu koskevat jokainen sen kasvoja sen keskellä;
• mediaani koskee kaikkia reunoja keskellä.

Säde alalla on kuvattu seuraavan kaavan lasketaan:

• R =: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Säde merkitty pallon lasketaan seuraavasti:

• R =: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

jossa θ - diedrikulma joka on vierekkäisten puolia.

Mediaani säde voidaan laskea seuraavan kaavan avulla:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

missä h = suuruus 4,6, 6,10, tai 10 säteiden suhde piirretyn kuvattu ja symmetrisesti suhteessa p ja q. Se lasketaan seuraavasti:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Symmetria polyhedra

Symmetriaa säännöllinen polyhedra on ensisijaisen tärkeä näiden geometristen elimille. Se ymmärretään liikettä kehon tilaan, joka jättää saman pisteiden lukumäärä, kasvot ja reunat. Toisin sanoen, vaikutuksen alaisena symmetriamuunnoksia reunan, Vertex tai kasvojen säilyttää alkuperäiseen asentoonsa, tai liikkuu alkuasentoon toisen kylkiluun kaikki kärjet tai kasvoja.

Elementtien symmetria säännöllisesti polyhedra ovat yhteisiä kaiken tyyppisille geometrisen kiintoaineen. Tässä se on suoritettava henkilöllisyyden muutos, joka jättää missään pisteistä alkuperäisessä asennossa. Joten, kun kytket monikulmioprisman prisma saada joitakin symmetries. Tahansa niistä voidaan esittää tuotteen pohdinta. Symmetria, joka on tuote parillinen määrä heijastuksia, kutsutaan suoraksi. Jos se on tuote pariton määrä heijastuksia, niin sitä kutsutaan palautetta. Näin ollen, kaikki kierrokset linjan ympäri suoraketjuista symmetria. Heijastusta polyhedron - on käänteinen symmetrisyys.

Ymmärtämään paremmin symmetria elementtejä säännöllisesti polyhedra, voit ottaa esimerkiksi tetrahedron. Mikä tahansa viiva, joka kulkee yhden pisteiden ja keskellä geometrisen muodon, tapahtuu, ja keskustan läpi reunan sitä vastapäätä. Kukin kierrosta 120 ja 240 ° linjan ympäri kuuluu useita tetraedrisessa symmetria. Koska se 4 pistettä ja kasvot, saamme yhteensä kahdeksan suoraa symmetries. Jonkin läpi kulkevat keskeltä reunojen ja rungon keskellä, se kulkee keskellä vastakkaista reunaa. Pyöriminen 180 °, kutsutaan puoli-kääntyä suora symmetria. Koska tetrahedron on kolme paria kylkiluita, saat kolme riviä symmetriaa. Perustuu edellä, voimme päätellä, että kokonaismäärä suoraa symmetria, mukaan lukien henkilöllisyyden muutos, on jopa kaksitoista. Muut suorat symmetria -tetraedriin ei ole olemassa, mutta se on 12 käänteinen symmetrisyys. Näin ollen vain 24 tunnettu siitä, tetraedri symmetrioita. Selvyyden vuoksi voimme rakentaa malli säännöllinen tetrahedron tehty pahvista ja varmista, että se on geometrinen keho todella on vain 24 symmetria.

Dodecahedron ja ikosaedri - lähinnä kehon alueelle. Icosahedron on eniten kasvot, diedrikulmaa ja kaikkea voi tiukasti kiinni sisäänpiirretyllä alalla. Dodekaedri on pienin kulma vika suurin kiinteä kulma kärki. Se voi maksimoida täyttää rajattu alalla.

skannaus polyhedra

Säännöllinen Polyhedra scan, jota me kaikki kiinni yhdessä lapsuudessa, on paljon käsitteitä. Jos on joukko polygoneja, kummallakin puolella, joka on tunnistettu vain yhdellä puolella polyhedron, tunnistaminen osapuolten on noudatettava kaksi ehtoa:

• Jokaisen monikulmiopäisen, voit mennä monikulmion, jolla tunnistaminen puolella;
• tunnistettavissa puolella pitäisi olla sama pituus.

Se on joukko monikulmioita, jotka täyttävät nämä ehdot, ja kutsutaan polyhedron skannauksen. Kukin näistä laitoksista on useita. Esimerkiksi kuution joita on 11 kappaletta.