Geometrisen ja sen ominaisuudet

Geometrisen on tärkeä matematiikan tieteenä, ja sovellettu merkitystä, koska se on erittäin laaja, jopa korkeamman matematiikan, esimerkiksi teorian sarjassa. Ensimmäisessä tietoa siitä, miten tuli meille antiikin Egyptistä, erityisesti muodossa tunnettu ongelma Rhind papyrus seitsemän henkilöä seitsemän kissaa. Muunnelmia tästä tehtävästä toistettiin useita kertoja eri aikoina muilta kansoilta. Jopa Velikiy Leonardo Pizansky, joka tunnetaan nimellä Fibonacci (XIII c.), Puhui hänelle hänen "Book of Abacus."

Jotta geometrinen etenemistä on vanha historia. Se edustaa numeerista sekvenssiä, jolla on nollasta poikkeava ensimmäinen jäsen, ja kukin sen jälkeen, alkaen toisesta määritetään kertomalla edellinen rekursiokaava vakionopeudella, nollasta poikkeava määrä, joka on nimeltään nimittäjä etenemistä (se yleensä nimetty käyttäen kirjaimella q).
On selvää, että voidaan löytää jakamalla kunkin seuraavan aikavälin sekvenssin edelliseen, eli z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Näin ollen useimpien työpaikkojen etenemisen (Zn) riittää, että se tietää arvo ensimmäisen termin nimittäjä ja y 1 q.

Oletetaan esimerkiksi, z 1 = 7, q = - 4 (q <0), niin seuraava geometrinen etenemistä saadaan 7-28, 112-448, .... Kuten näette, tuloksena järjestys ei ole monotoninen.

Muistuttaa, että mielivaltainen sekvenssi monotoninen (lisäämällä / vähentämällä), kun yksi sen jäsenistä seurata enemmän / vähemmän kuin edellinen. Esimerkiksi, sekvenssi 2, 5, 9, ..., ja -10, -100, -1000, ... - Monotone, toinen - laskeva geometrisen.

Tapauksessa, jossa q = 1, kaikki jäsenet on todettu, ja sitä kutsutaan vakio etenemistä.

Sekvenssi oli etenemisen tämän tyyppinen, sen on täytettävä seuraavat välttämätön ja riittävä ehto, nimittäin: alkaen toisesta, kunkin sen jäsenten tulisi olla geometrinen keskiarvo viereisten jäsenten.

Tämän ominaisuuden avulla tietyin kaksi vierekkäistä havainto mielivaltaisen aikavälin etenemistä.

n: nnen aikavälin eksponentiaalisesti helposti löydettävissä kaavalla: zn = z 1 * q ^ (n-1), z tietää ensimmäisen osan 1 ja nimittäjä q.

Koska numerosarja on summa, sitten muutamia yksinkertaisia laskutoimituksia antaa meille kaava laskea summa ensimmäisen etenemisen jäsenistä, nimittäin:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Korvaamalla kaavan sen ilmentymisen arvo zn z 1 * q ^ (n-1), jolloin saatiin toisen summan kaava etenemisen: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

On huomionarvoinen seuraaviin mielenkiintoinen seikka: savi tabletti löytyy kaivauksissa muinaisen Babylonian, joka viittaa VI. BC, sisältää merkittävällä tavalla summa 1 + 2 + ... + 22 + 29 = 2 kymmenenteen teho miinus 1. selitys tähän ilmiöön ei ole vielä löydetty.

Toteamme yksi ominaisuuksista geometrisen - jatkuvasti työtä sen jäsenten, välimatkan päässä toisistaan samalle etäisyydelle päistä sekvenssi.

Erityisen tärkeää tieteellisestä näkökulmasta katsottuna, kuten asia kuin äärettömän geometrinen etenemistä ja laskemalla sen määrä. Olettaen, että (yn) - geometrinen etenemistä, jossa nimittäjä q, joka täyttää ehdon | q | <1, sen määrä on tarkoitettu raja, jota kohti tiedämme jo summa ensimmäiset jäsenet, rajatonta kasvua n, sitten sitä lähestyy ääretöntä.

Selvittää summan seurauksena käyttäen kaavaa:

S n = y 1 / (1-q).

Ja, kuten kokemus on osoittanut, että näennäinen yksinkertaisuus etenemistä on piilotettu valtava soveltamisen mahdollisuuksia. Esimerkiksi, jos rakentaa sekvenssin neliöiden mukaan seuraavan algoritmin, joka yhdistää keskikohtien edellinen, niin ne muodostavat neliön ääretön geometrinen etenemistä, jolla on nimittäjä 1/2. Sama etenemistä muoto ja alue kolmiot, saadaan kussakin vaiheessa rakennusvaiheessa, ja sen summa on yhtä suuri kuin pinta-ala on alkuperäisen neliö.