Yksinkertainen iteroinnin tapa ratkaista lineaarisia yhtälöitä (Slough)

Yksinkertaista iteraation menetelmä, jota kutsutaan myös menetelmä peräkkäisten lähentämisestä, - matemaattista algoritmia löytää arvot tuntemattoman arvon asteittaisen selventämiseksi. Olennaista tässä menetelmässä on, että, kuten nimikin kertoo, vähitellen ilmentävät Ensiarviona myöhempiä tapahtumia, ovat yhä puhdistetut tuloksia. Tätä menetelmää käytetään löytää muuttujan arvo on tietyn toiminnon, ja ratkaista yhtälöryhmiä, sekä lineaarisia ja ei-lineaarisia.

Katsotaanpa, miten tämä menetelmä toteutetaan liuoksessa lineaarijärjestelmien. kiinteän pisteen iteraation algoritmi on seuraavanlainen:

1. todentaminen lähentymisehtojen alkuperäisessä matriisissa. Konvergenssin- lause: jos alkuperäinen järjestelmä matriisi on vinosti hallitseva (eli kunkin rivin elementit päälävistäjän on oltava suurempi suuruudeltaan kuin summa elementtien puolella lävistäjien absoluuttinen arvo), joka menetelmä on yksinkertainen toistojen - yhtenevät.

2. matriisi alkuperäinen järjestelmä ei ole aina lävistäjä valta. Tällaisissa tapauksissa järjestelmä voi muuttua. Yhtälöt, jotka täyttävät suppenemisehto jätetään koskemattomaksi, jossa on epätyydyttävä ja lineaarisia yhdistelmiä, ts kerrotaan, vähennetään, yhtälö taitettu yhteen tuota haluttua tulosta.

Jos vastaanotettu järjestelmän tärkeimmät lävistäjä ovat hankalia tekijöitä, sitten molemmin puolin tämän yhtälön lisätään ehtojen muodossa _i * x _i, joka on sama kuin merkkejä merkkejä diagonaalialkioiden.

3. muuntaminen tuloksena olevan järjestelmän normaaliin näkymä:

^{x - = β - + α *} x -

Tämä voidaan tehdä monella tavalla, esim. Seuraavasti: ensimmäinen yhtälö ilmaista x ₁ muiden unknown vtorogo- x _2, x ₃ tretego- jne. Näin olemme käyttämällä kaavaa:

_{α ij = - (a ij /} A II)

_i = b _i / a _ii
Varmista jälleen, että tuloksena olevan järjestelmän normaalin tyypin vastaa suppenemisehto:

Σ (j = 1) | a: _ij | ≤ 1, ja i = 1,2, ... n

4. Aloita käytetään, itse asiassa, menetelmä peräkkäisten likiarvoja.

x ⁽⁰⁾ - ensimmäinen approksimaatio, annamme läpi x ^(1), jota seurasi x ⁽¹⁾ x Express ^(2). Yleinen kaava matriisimuodossa seuraavasti:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Laskemme, kunnes pääsemme halutulla tarkkuudella:

_{max | x (k) -x} (k + 1) ≤ e

Joten, Katsotaanpa käytännössä menetelmä yksinkertainen iteraation. esimerkiksi:
Ratkaista lineaarinen järjestelmät:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 tarkkuus ε = 10 ^-3

Katso ratkaisevia, jos diagonaalialkiot moduulin.

Näemme, että lähentyminen edellytys täyttyy kolmas yhtälö. Ensimmäinen ja toinen muunnos, ensimmäinen yhtälö lisäämme kaksi:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Vähennä kolmas:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Olemme muuttaneet alkuperäistä järjestelmää vastaava:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Nyt vähentää järjestelmän tavalliseen katseluun:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Tarkistamme lähentyminen iterointiprosessin:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, ts ehto täyttyy.

0,3947
Ensimmäinen approksimaatio x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Korvata nämä arvot yhtälöön normaalin tyypin, saadaan seuraavat arvot:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Korvike uusia arvoja, saamme:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Jatkamme laskemaan kunnes kunnes saat lähemmäksi niitä arvoja, jotka täyttävät määritetyt ehdot.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Tarkista oikeellisuutta tulokset:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Tulokset, jotka saatiin korvaamalla saatu arvot alkuperäiseen yhtälöön, tyydyttämään yhtälön.

Kuten näemme, yksinkertainen iteraation menetelmä antaa melko tarkkoja tuloksia, mutta ratkaista tämä yhtälö, meidän piti viettää paljon aikaa ja tehdä hankalia laskelmia.